Tarefas sobre função quadrática

Função

Uma função pode ser:
- uma relação entre dois conjuntos, onde há uma relação entre cada um dos seus elementos;
- uma lei para que cada valor x, é correspondido por um elemento y, também denotado por f(x);
Tipos de funções matemáticas
- função sobrejetora, injetora, trigonométrica, modular, do primeiro grau, do segundo grau, exponencial, logarítmica, polinomial, dentre outras.
Cada função é definidas por leis generalizadas e propriedades específicas.

Função no cotidiano
Na padaria em que Marcelo trabalha, o preço do pão francês é R$ 0,35.
Perto do balcão há uma placa com os preços:

- Que grandezas estão relacionadas nessa situação?

  (grandeza é tudo o que podemos contar, medir, pesar.)

  Na questão estão relacionadas duas grandezas: o número de pães e o respectivo preço, isto é, conforme varia uma, a outra varia também, de forma que a cada quantidade de pães corresponde a um único preço. 

Por isso, podemos dizer que o preço à pagar, é função do número de pães.

- Que fórmula poderia ser usada  para calcular o preço de uma quantidade qualquer de pão?

Para calcular o preço Y de uma quantidade n qualquer de pães, podemos usar uma sentença matemática para representar  essa função:

y = 0,35 . n ou y = 0,35n

Essa sentença é chamada lei de formação, ou fórmula dessa função.

Definição de função

É uma relação entre duas variáveis x e y, tal que o conjunto de valores para x é determinado, e a cada valor x esta associado, um e somente valor para y.

- a relação é expressa por y=f(x);

- o conjunto de valores de x é dito domínio da função.

- as variáveis x e y são ditas, respectivamente, independente e dependente. 

Noção de função via conjuntos
Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B (f:A-> B), é uma regra que diz como associar cada elemento x que pertence à A a um único elemento y que pertence a B.

A função f, transforma x de A em y de B.

O conjunto A chama-se Domínio da função (D(f))

O conjunto B, chama-se contradomínio da função (CD(f))

Imagem de uma função f (Im(f)), é a regra que associa os dois conjuntos.

Este diagrama não representa uma função, pois existe um elemento no conjunto A (o número zero) que não tem correspondente em B.

Representação gráfica de função

Dada uma função y=f(x), consideramos no plano, com sistema de coordenadas cartesianas, o conjunto de pontos (x,y).
Este conjunto é denominado gráfico da função f.

Identificação de uma função por meio do gráfico
Ao analisar um gráfico, podemos saber se ele representa uma função. Observe:

Este gráfico não representa uma função,pois há valores de que estão associados a mais de um valor de y=f(x). Note, por exemplo, que para x=0 estão associados y=3 e y=-3.

Este gráfico representa uma função, pois para cada valor de x está associado um único valor de y=f(x). 

Na simulação acima, observamos que ao movermos o ponto, este nos apresenta a construção da parábola, ponto a ponto, no plano cartesiano, através dos pares ordenados (x,y).

Função afin

É toda função, pertencente ao conjunto dos reais, em que f(x)=ax + b, com a e b reais.
Por exemplo: f(x)=3x + 2, é uma função afim com a=3 e b=2.

• Quando a é diferente de zero, a função de lei f(x)=ax + b, é uma função polinomial do 1º grau.
• Quando a = 0, a função de lei f(x)= ax + b é chamada função constante. Por exemplo: f(x)=5.

Gráfico da função afim

• O gráfico de uma função afim é sempre uma reta.
• O gráfico de uma função polinomial do 1º grau intercepta o eixo das abcissas em um único ponto cuja abcissa corresponde ao zero da função.

O gráfico de uma função afim intercepta o eixo das ordenadas em um único ponto.

Função polinomial do 2º grau ou quadrática

Uma função chama-se quadrática ou polinomial do 2º grau quando, para todo x que pertence ao conjunto dos reais, tem-se f(x)= ax² + bx + c, em que a, b e c são números reais com a diferente de zero.

Gráfico da função quadrática
Toda função quadrática tem como gráfico uma figura chamada parábola.
     Considerando a função quadrática dada por f(x) = ax² + bx + c, temos:
     - Quando a>0, a concavidade da parábola é voltada para cima.
     - Quando a<0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.


Zeros da função quadrática
 Os zeros de uma função quadrática f são os valores de x reais tais que f(x)=0.
 No gráfico, os zeros de uma função quadrática correspondem às abscissas dos pontos de intersecção da parábola com o eixo x, já que nestes pontos tem-se f(x)=0.


Vértice
 O vértice nos informa o ponto mais alto ou mais baixo que a curva atinge.
 A ordenada do vértice da parábola, representa o valor mínimo da função quando a>0, ou o valor máximo da função quando a<0.

A determinação do vértice da parábola ajuda na elaboração do gráfico e permite determinar a imagem da função, bem como seu valor máximo ou mínimo.

Estudo do vértice de uma parábola

Nesse caso, V é o ponto em que a função tem seu valor mínimo.
Para a função f(x)= ax² + bx +c. e por causa da simetria do gráfico da parábola, observe que os pontos de abcissa (Xv + 2) e (Xv -2) têm a mesma ordenada. Assim podemos escrever:
a(Xv + 2)² + b(Xv + 2) + c = a(Xv - 2)² + b(Xv - 2) + c
a(Xv)² + 4aXv+4 +bXv + 2b+ c= a(Xv)² - 4Xv+4 + bXv - 2b + c
aXv² - aXv² + 4aXv +4Xv + 4 - 4+bXv-bXv +2b+2b + c -c =0
8aXv + 4b = 0
8aXv = - 4b(:4)
2aXv =- b
Xv = - b / 2a ==> logo esta é a "fórmula", para calcular o vértice, relativo ao eixo X (eixo das abcissas).
   Mas para definirmos o par ordenado que define o vértice é necessário encontrarmos o valor da ordenada Y(eixo vertical Y). Para isto basta, substituirmos X por Xv, na fórmula: Yv = aX²v + bXv + c, logo:
Yv = a (- b/2a)² + b(-b/2a) = c, então: Yv = - (b²-4ac)/4a.